Si \(\tau\in S_n\) et \(\sigma\) est un cycle de longueur \(k\), montrer que $$\tau\sigma\tau^{-1}=\begin{pmatrix}\tau(a_1)&\tau(a_2)&\ldots&\tau(a_k)\end{pmatrix}$$

Procéder par disjonction des cas en fonction de l'emplacement de \(x=\tau(a_i)\)

On procède par disjonction des cas :

• si \(x=\tau(a_i)\), (avec \(i\lt k\)), alors : $$\tau\sigma\tau^{-1}(x)=\tau\sigma\tau^{-1}\tau(a_i)=\tau\sigma(a_i)=t(a_{i+1})$$
• si \(x=\tau(a_k)\), alors : $$\tau\sigma\tau^{-1}(x)=\tau\sigma\tau^{-1}\tau(a_k)=\tau\sigma(a_k)=\tau(a_{1})$$
• si \(x\notin\{\tau(\alpha_1),\ldots,\tau(a_k)\}\), alors : $$\tau\sigma\tau^{-1}(x)=\tau\sigma(\tau^{-1}(x))=\tau\tau^{-1}(x)=x$$

On trouve bien la fonction demandée

Combien t a-t-il de permutations \(f\) de \(\{1,\ldots,12\}\) dans lui-même possédant la propriété : $$n\text{ est pair }\implies f(n)\text{ est impair}$$

Énumération des différentes possibilités

• pour \(2\), on a \(6\) possibilités
• pour \(4\), il ne reste que \(5\) possibilités
• etc

Ça nous fait \(6!\) possibilités
Il faut faire de même pour les entiers impairs
Le nombre de possibilités est donc : $$6!\times6!$$

(Factorielle)